大家好，我是章北海。
最近阿里巴巴全球数学竞赛非常火热，咱们就别参与那个不可能有结果讨论了，认真看个题。
我们就只看决赛阶段应用于计算数学问题 2 的第一个证明，跟深度学习有点关系。
我发了朋友圈后有圈友说要不要尝试挑战一下，我是数学小白，不过借助 GPT，或许真的可以试试。
下面的答案完全由 GPT 生成，用尽了 2 次 GPT-4o 的免费额度和 N 种提问方式才获得。
我还咨询了一位参赛的数学博士，思路没问题。
看答案之前顺便分享一下经验：
0、角色扮演，让其假装成善于解题的数学家
1、不要直接图片提问，可以让 GPT 先把文字抽取出来
2、抽取的文字、公式有瑕疵需要手动修改，用 markdown 格式
3、题目翻译成英文提问，中间需要追问或修改也用英文提问
4、证明过程很长，看起来有错误的步骤可以中断，让其从指定位置重新开始
5、上下文过长后影响 GPT“智商”，可以重开窗口，从头再来
6、已确认无误的步骤可以当成自己的成果，加入到 prompt，让其继续
7、整个过程，很难一蹴而就，需要耐心
8、最后审视并汇总证明过程，翻译成中文返回答案
证明过程
第一步：计算损失函数的梯度
损失函数可以重写为：
\[\text{Loss}(w) = \frac{1}{2m} \sum_{j=1}^m (y_j - F(x_j; w) - (w - w^*)^\top \nabla F(x_j; w^*))^2.\]对$w$ 求梯度：
\[\nabla \text{Loss}(w) = -\frac{1}{m} \sum_{j=1}^m (y_j - F(x_j; w) - (w - w^*)^\top \nabla F(x_j; w^*)) \nabla F(x_j; w^*).\]第二步：线性化假设
在$w^$ 附近进行线性化假设，我们有$F(x_j; w^) = y_j$ 。因此，
\[\nabla \text{Loss}(w) = -\frac{1}{m} \sum_{j=1}^m ((w - w^*)^\top \nabla F(x_j; w^*)) \nabla F(x_j; w^*).\]第三步：用$\Sigma$ 表示梯度
可以简化为：
\[\nabla \text{Loss}(w) = \Sigma (w - w^*).\]第四步：梯度下降更新
给定梯度下降更新规则：
\[w_{i+1} = w_i - s \nabla \text{Loss}(w_i),\]代入损失函数梯度的表达式：
\[w_{i+1} = w_i - s \Sigma (w_i - w^*).\]第五步：误差动态
定义误差向量$e_i = w_i - w^*$ 。则更新规则变为：
\[e_{i+1} = e_i - s \Sigma e_i.\]简化为：
\[e_{i+1} = (I - s \Sigma) e_i.\]第六步：稳定性条件
为了确保稳定性，我们需要矩阵$I - s \Sigma$ 的谱半径（最大绝对特征值）小于等于 1。这意味着：
\(\| I - s \Sigma \|_2 \leq 1.\)
第七步：特征值分析
矩阵$I - s \Sigma$ 的特征值为$1 - s \lambda_k$ ，其中$\lambda_k$ 是$\Sigma$ 的特征值。为了稳定，我们需要： \(|1 - s \lambda_k| \leq 1.\)
这给出了每个$\lambda_k$ 的范围：
\[-1 \leq 1 - s \lambda_k \leq 1,\]简化为：
\[0 \leq s \lambda_k \leq 2.\]给定$| \Sigma |_2 = \max \lambda_k$ ，我们得到：
\[\| \Sigma \|_2 \leq \frac{2}{s}.\]这是确保梯度下降局部稳定所需的稳定性条件。
第八步：损失函数界限
现在，我们需要计算$\text{Loss}(w)$ 的上下界。 由于$\nabla \text{Loss}(w) = \Sigma (w - w^*)$ ，我们可以将损失函数写为：
\[\text{Loss}(w) = \frac{1}{2} (w - w^*)^\top \Sigma (w - w^*).\]第九步：上下界
设$\lambda_{\min}$ 和$\lambda_{\max}$ 分别为$\Sigma$ 的最小和最大特征值。
二次型$(w - w^)^\top \Sigma (w - w^)$ 的界限为：
\(\lambda_{\min} \| w - w^* \|^2 \leq (w - w^*)^\top \Sigma (w - w^*) \leq \lambda_{\max} \| w - w^* \|^2.\) 因此，损失函数的界限为：
\[\frac{\lambda_{\min}}{2} \| w - w^* \|^2 \leq \text{Loss}(w) \leq \frac{\lambda_{\max}}{2} \| w - w^* \|^2.\]考虑到$| \Sigma |2 = \lambda{\max}$ 和假设$| \Sigma |_2 \leq \frac{2 \sqrt{d}}{s}$ ，损失函数的上界为：
\[\text{Loss}(w) \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{d}}{s} \| w - w^* \|^2 = \frac{\sqrt{d}}{s} \| w - w^* \|^2.\]对于下界，假设$\lambda_{\min}$ 为正：
\[\text{Loss}(w) \geq \frac{\lambda_{\min}}{2} \| w - w^* \|^2.\]结论
在给定条件下，如果$| \Sigma |_2 \leq \frac{2}{s}$ ，梯度下降是局部稳定的。
损失函数$\text{Loss}(w)$ 的上下界为：
\[\frac{\lambda_{\min}}{2} \| w - w^* \|^2 \leq \text{Loss}(w) \leq \frac{\sqrt{d}}{s} \| w - w^* \|^2.\]